糖果配比销售优化模式

摘要
　　 由于此问题是一个优化问题，这里我们采用优化模型，优化模型是为了使在原材料固定的前提下使得决策的问题达到最优，再本问题中，要求我们决定各品牌果仁糖的总周利润最大的前提下，需购进杏仁、核桃仁、腰果仁和胡桃仁的数量以及各果仁糖中果仁的配比问题，这里我们再假设购进量等于销售量的前提下，对问题进行优化处理，在通过lingo软件求解，我们可以知道，问题一的最优周利润为10069.70美元，又分析了每千克各品牌果仁糖中含各种果仁的量。在问题二中，我们首先假设当在旺季(这里是在圣诞节)豪华和蓝带销量会增加，然后在分普通品牌销量不变与可变两种情况进行讨论，它们的最优周利润分别为14026.36美元和15289.33美元，又在普通可变的情况下又分成15种情况进行分类讨论，列出了详细的参量表，通过对表的分析，可以知道某些果仁的增加不会对周利润产生影响。通过上述分析，可以为决策者找到一个最优方案，不论是在淡季还是在旺季，都可以掌握市场动态。
　　关键词：优化模型、周利润、销售量、果仁配比、灵敏度分析.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　一、问题重述:
　　在现代企业中，一个决策的好坏反映了一个公司的发展潜力，好的决策带来快速稳定的发展，这里就某糖果店出售三种不同品牌的果仁糖做一个决策，这里每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁。为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的，如下表所示：
　　
　　品牌 含量需求 售价/ 美元/kg
　　普通 腰果仁不超过20% 0.89
　　 胡桃仁不低于40%
　　 核桃仁不超过25%
　　 杏仁没有限制
　　豪华 腰果仁不超过35% 1.10
　　 杏仁不低于40%
　　 核桃仁、胡桃仁没有限制
　　蓝带 腰果仁含量位于30%~50%之间 1.80
　　 杏仁不低于30%
　　 核桃仁、胡桃仁没有限制
　　
　　每周商店从供应商处能够得到的每类果仁的最大数量和售价如下表：
　　
　　 售价/ 美元/kg 每周最大供应量/ kg
　　杏仁 0.45 2000
　　核桃仁 0.55 4000
　　腰果仁 0.70 5000
　　胡桃仁 0.50 3000
　　
　　1） 商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，使周利润最大，建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。
　　2） 若在圣诞周，豪华和蓝带品牌的销售量会增加，这时商店会让果仁供应量增加10%,试问在这种情况下混合配比是否改变，圣诞周利润会改变多少？请分情况说明。
　　二、模型假设：
　　1、各品牌的产量等于销售量；
　　2、在旺季时，只有豪华和蓝带品牌的销售量会增加，而普通品牌的销量不定；
　　3. 生产者资金充足，不会出现资金短缺现象。
　　
　　三、符号说明：
　　z 周利润
　　 各品牌中所含果仁（腰果仁、胡桃仁、核桃仁、杏仁）的量 （kg） i=1、2、3；j=1•••4
　　 普通、豪华、蓝带的销售量(kg) i=1、2、3
　　m 果仁的增加量
　　 果仁（腰果仁、胡桃仁、核桃仁、杏仁）的增量（kg） i=1、2、3、4
　　
　　四、问题分析：
　　 由题意知，此问题为优化问题，我们可以建立优化模型[1]，首先我们来建立目标函数，由于问题要求确定杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的购进量来使得周利润最大，而周利润等于销售额减去成本，这里我们由假设和问题可以得出，目标函数为
　　
　　
　　然而，问题要求的各个量有一定的约束条件，在普通品牌中要求腰果仁不超过20%、胡桃仁不低于40%、核桃仁不超过25%、杏仁没有限制，又普通品牌的销售量为 ，所以我们有：
　　
　　同理，在豪华品牌中要求腰果仁不超过35%、杏仁不低于40%、核桃仁、胡桃仁没有限制，又豪华品牌的销售量为 ，所以我们有：
　　
　　在蓝带品牌中要求腰果仁含量位于30%~50%之间、杏仁不低于30%、核桃仁、胡桃仁没有限制，又蓝带的销售量为 ，所以我们有：
　　
　　
　　
　　
　　
　　又由对果仁的供应商来说，每周有一个最大供应量，腰果仁、胡桃仁、核桃仁、杏仁的周最大供应量分别为5000kg、3000kg、4000kg、2000kg，所以每周用于生产各品牌果仁糖所需果仁有限定值，从而我们可以得到：
　　
　　而又由假设知道，我们这里建立的是销售量等于产量的数学模型，所以可以得到：
　　
　　然而不论怎样，各品牌中各果仁的含量是一个非负数，所以必有：
　　
　　
　　五、模型建立及求解：
　　模型一
　　由以上的分析，我们可以建立以下的优化模型：
　　
　　Max
　　
　　S．T：
　　
　　
　　通过lingo[2]们可以得到周利润的最大值为10069.70美元，
　　
　　六、模型分析
　　1.管理和果仁混合分析：
　　由结果可知,当有最大利润时，普通果仁糖的销售量为5454.545kg，豪华果仁糖的销售额为0kg，蓝带果仁糖的销售量为6666.667kg，也就是说总的销售额为16854.546美元，又由于需要购进果仁，由结果可知，需购进腰果仁3121.212kg, 胡桃仁3000kg、核桃仁4000kg、杏仁2000kg,即购进果仁的成本为6784.8484美元。这样我们就解决了周利润和果仁的购进量，接下来我们说明管理人员如何决定果仁的混合，由结果可以知道，每种品牌每千克果仁糖中果仁的含量，可列下表：
　　
　　 每千克果仁糖中果仁含量（kg）
　　 普通 豪华 蓝带
　　腰果仁(kg) 0.2 0 0.305
　　胡桃仁(kg) 0.55 0 0
　　核桃仁(kg) 0.25 0 0.395
　　杏仁(kg) 0 0 0.3
　　2.灵敏度分析
　　由结果可知，在目标函数不变的情况下，即保持最大周利润不变的情况下，各品牌的售价可以如下发生变化：普通品牌售价可在0.19-1.83元之间变动；豪华品牌售价可在0-1.062之间变动；而蓝带品牌售价大于0.8元即可。
　　
　　七、模型的拓展
　　模型二：
　　以上模型是在通常的请况下（也就是通常说的淡季）建立的，假如遇到节日等情况时（也就是通常说的旺季），某些品牌销售量会改变，从而果仁的购进量也会改变，当果仁的增加量为m时，这里我们讨论果仁供应量增加10%的情形，也就是说，果仁的购进量在原基础上增加m=1400kg,有以下15中情况
　　(1) 当增加的国人是腰果仁、胡桃仁、核桃仁和杏仁时
　　(2) 当增加的果仁是腰果仁、胡桃仁和核桃仁时
　　(3) 当增加的果仁是腰果仁、胡桃仁和杏仁时
　　(4) 当增加的果仁是腰果仁、核桃仁和杏仁时
　　(5) 当增加的果仁是胡桃仁、核桃仁和杏仁时
　　(6) 当增加的果仁只是腰果仁和胡桃仁时
　　(7) 当增加的果仁只是腰果仁和核桃仁时
　　(8) 当增加的果仁只是腰果仁和杏仁时
　　(9) 当增加的果仁只是胡桃仁和核桃仁时
　　(10) 当增加的果仁只是胡桃仁和杏仁时
　　(11) 当增加的果仁只是核桃仁和杏仁时
　　(12) 当增加的果仁只是腰果仁时
　　(13) 当增加的果仁只是胡桃仁时
　　(14) 当增加的果仁只是核桃仁时
　　(15) 当增加的果仁只是杏仁时
　　这里我们只考虑第一种情况，其他情况只是第一种情况的特例
　　假设腰果仁、胡桃仁、核桃仁和杏仁的增量分别为 、 、 和 (kg)，这时我们假设仍然符合题目的要求含量比，又由假设知，当在旺季时，只有豪华和蓝带品牌的销量会增加，然而普通品牌的情况需要讨论。
　　1. 当普通品牌的销量不变时：
　　由于普通品牌的销量不变，所以我们先除去普通品牌的销量和成本，只需对豪华和蓝带品牌果仁糖的销量、成本以及各果仁配比进行分析，这时由模型一知，普通品牌的销售量为5454.545kg，销售额为4854.5451美元，其中需要腰果仁1090.909kg、胡桃仁3000kg、核桃仁1363.636kg、杏仁0kg，需要的成本为3013.6361美元,所以普通品牌的利润为1840.909美元，从而我们可以建立如下的优化模型：
　　Maz
　　
　　S.T
　　
　　当m=1400kg时，由lingo可解得，圣诞周利润为14026.36美元，比淡季增加3956.66美元，相应的果仁购进只需将杏仁购进量再增加1400kg,这是的配比为：
　　 每千克果仁糖中果仁含量（kg）
　　 普通 豪华 蓝带
　　腰果仁(kg) 0.2 0 0.393
　　胡桃仁(kg) 0.55 0 0
　　核桃仁(kg) 0.25 0 0.265
　　杏仁(kg) 0 0 0.342
　　
　　2. 当普通品牌的销量可以改变时：
　　由于普通品牌的销量可以改变，所以我们只需对模型一进行改进就行，从而可建立如下的优化模型：
　　Max
　　 S.T
　　
　　当m=1400kg时，由lingo可解得，圣诞周利润为15289.33美元 ，比淡季增加5219.63美元，相应的果仁购进只需将杏仁购进量再增加1400kg，相应的配比是：
　　 每千克果仁糖中果仁含量（kg）
　　 普通 豪华 蓝带
　　腰果仁(kg) 0.012 0 0.437
　　胡桃仁(kg) 0.738 0 0
　　核桃仁(kg) 0.25 0 0.263
　　杏仁(kg) 0 0 0.3
　　综上的分析，我们可以得到其他情况的周利润、销售量、购进量和成分配比
　　
　　情
　　况
　　周利润(美元) 增量m的分配 销售量（kg） 每千克果仁糖中果仁含量（kg）
　　
　　
　　
　　
　　普
　　通 豪
　　华 蓝
　　带 普通 豪华 蓝带
　　
　　2
　　10833.33
　　0
　　1400
　　0
　　0
　　8000
　　0
　　6666.667 0.2 0 0.4
　　 0.55 0 0
　　 0.25 0 0.3
　　 0 0 0.3
　　
　　3
　　15289.33
　　0
　　0
　　0
　　1400
　　4066.667
　　0
　　11333.33 0.2 0 0.369
　　 0.738 0 0
　　 0.062 0 0.331
　　 0 0 0.3
　　
　　4
　　15289.33
　　0
　　0
　　0
　　1400
　　4066.667
　　0
　　11333.33 0.2 0 0.369
　　 0.738 0 0
　　 0.062 0 0.331
　　 0 0 0.3
　　
　　5
　　15289.33
　　0
　　0
　　0
　　1400
　　4066.667
　　0
　　11333.33 0.2 0 0.369
　　 0.738 0 0
　　 0.062 0 0.331
　　 0 0 0.3
　　6 10833.33 0 1400 0 0 8000 0 6666.667 0.2 0 0.4
　　 0.55 0 0
　　 0.25 0 0.3
　　 0 0 0.3
　　
　　7
　　10074.24
　　1369.697
　　0
　　30.303
　　0
　　5454.545
　　0
　　6666.667 0.2 0 0.3
　　 0.55 0 0
　　 0.25 0 0.4
　　 0 0 0.3
　　
　　8
　　15289.33
　　0
　　0
　　0
　　1400
　　4066.667
　　0
　　11333.33 0.2 0 0.369
　　 0.738 0 0
　　 0.062 0 0.331
　　 0 0 0.3
　　
　　9
　　10833.33
　　0
　　1400
　　0
　　0
　　8000
　　0
　　6666.667 0.2 0 0.4
　　 0.55 0 0
　　 0.25 0 0.3
　　 0 0 0.3
　　
　　10
　　15289.33
　　0
　　0
　　0
　　1400
　　4066.667
　　0
　　11333.33 0.2 0 0.369
　　 0.738 0 0
　　 0.062 0 0.331
　　 0 0 0.3
　　
　　11
　　15289.33
　　0
　　0
　　0
　　1400
　　4066.667
　　0
　　11333.33 0.2 0 0.369
　　 0.55 0 0
　　 0.25 0 0.331
　　 0 0 0.3
　　
　　12
　　10069.70
　　1400
　　0
　　0
　　0
　　5454.545
　　0
　　6666.667 0.2 0 0.305
　　 0.55 0 0
　　 0.25 0 0.395
　　 0 0 0.3
　　
　　13
　　10833.33
　　0
　　1400
　　0
　　0
　　8000
　　0
　　6666.667 0.2 0 0.4
　　 0.55 0 0
　　 0.25 0 0.3
　　 0 0 0.3
　　
　　14
　　10074.24
　　0
　　0
　　1400
　　0
　　5454.545
　　0
　　6666.667 0.2 0 0.3
　　 0.55 0 0
　　 0.25 0 0.4
　　 0 0 0.3
　　
　　15
　　15289.33
　　0
　　0
　　0
　　1400
　　4066.667
　　0
　　11333.33 0.2 0 0.369
　　 0.55 0 0
　　 0.25 0 0.331
　　 0 0 0.3
　　八、模型评价及改进
　　通过上面得分析我们可以看到，有些参量的改变不会影响周利润，比如但在普通品牌销量可以改变的情况下，当增加的果仁是腰果仁、胡桃仁和杏仁时、当增加的果仁是腰果仁、核桃仁和杏仁时和当增加的果仁是胡桃仁、核桃仁和杏仁时这三种情况它们的最优周利润相等，并且只有杏仁增加，这三种情况的结果同当果仁的增量只为杏仁时的结果，所以有些方案完全是等同的。决策者可以根据自己的情况选定方案，当然这里的模型只是建立在销售量等于产量的情况下，我们也可以建立销量小于产量，以及脱销的数学模型。假如考虑生产者的资金丰余度，可以建立资金短缺条件下的数学模型。
　　
　　参考文献：
　　[1]姜启源、谢金星、叶俊.数学建模[M].北京：高等教育出版社.2003.8.
　　[2]谢金星、薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社.2005.7.
　　附表
　　程序：
　　模型一
　　max=0.89*y1+1.10*y2+1.80*y3-0.70*(x11+x21+x31)-0.5*(x12+x22+x32)-0.55*(x13+x23+x33)-0.45*(x14+x24+x34);
　　
　　x11-0.2*y1<0;
　　0.4*y1-x12<0;
　　x13-0.25*y1<0;
　　x21-0.35*y2<0;
　　0.4*y2-x24<0;
　　0.3*y3-x31<0;
　　x31-0.5*y3<0;
　　0.3*y3-x34<0;
　　x11+x21+x31<=5000;
　　x12+x22+x32<=3000;
　　x13+x23+x33<=4000;
　　x14+x24+x34<=2000;
　　x11+x12+x13+x14=y1;
　　x21+x22+x23+x24=y2;
　　x31+x32+x33+x34=y3;
　　运行结果：
　　Global optimal solution found.
　　 Objective value: 10069.70
　　 Total solver iterations: 5
　　
　　
　　 Variable Value Reduced Cost
　　 Y1 5454.545 0.000000
　　 Y2 0.000000 0.000000
　　 Y3 6666.667 0.000000
　　 X11 1090.909 0.000000
　　 X21 0.000000 1.777778
　　 X31 2030.303 0.000000
　　 X12 3000.000 0.000000
　　 X22 0.000000 2.123232
　　 X32 0.000000 0.3454545
　　 X13 1363.636 0.000000
　　 X23 0.000000 1.777778
　　 X33 2636.364 0.000000
　　 X14 0.000000 3.321212
　　 X24 0.000000 0.000000
　　 X34 2000.000 0.000000
　　
　　 Row Slack or Surplus Dual Price
　　 1 10069.70 1.000000
　　 2 0.000000 0.3454545
　　 3 818.1818 0.000000
　　 4 0.000000 0.3454545
　　 5 0.000000 0.000000
　　 6 0.000000 5.444444
　　 7 30.30303 0.000000
　　 8 1303.030 0.000000
　　 9 30.30303 0.000000
　　 10 0.000000 3.666667
　　 11 1878.788 0.000000
　　 12 0.000000 0.5454545
　　 13 0.000000 0.1500000
　　 14 0.000000 3.916667
　　 15 0.000000 -1.045455
　　 16 0.000000 1.077778
　　 17 0.000000 -0.7000000
　　Ranges in which the basis is unchanged:
　　
　　 Objective Coefficient Ranges
　　 Current Allowable Allowable
　　 Variable Coefficient Increase Decrease
　　 Y1 0.8900000 1.826667 0.1900000
　　 Y2 1.100000 1.066667 INFINITY
　　 Y3 1.800000 INFINITY 0.8000000
　　 X11 -0.7000000 9.133333 0.2533333
　　 X21 -0.7000000 1.777778 INFINITY
　　 X31 -0.7000000 0.1500000 0.2375000
　　 X12 -0.5000000 INFINITY 0.3454545
　　 X22 -0.5000000 2.123232 INFINITY
　　 X32 -0.5000000 0.3454545 INFINITY
　　 X13 -0.5500000 7.306667 0.2375000
　　 X23 -0.5500000 1.777778 INFINITY
　　 X33 -0.5500000 0.2375000 0.1500000
　　 X14 -0.4500000 3.321212 INFINITY
　　 X24 -0.4500000 2.666667 INFINITY
　　 X34 -0.4500000 INFINITY 2.666667
　　
　　 Righthand Side Ranges
　　 Row Current Allowable Allowable
　　 RHS Increase Decrease
　　 2 0.0 1033.333 66.66667
　　 3 0.0 INFINITY 818.1818
　　 4 0.0 895.8333 20.83333
　　 5 0.0 INFINITY 0.0
　　 6 0.0 0.0 13.63636
　　 7 0.0 INFINITY 30.30303
　　 8 0.0 INFINITY 1303.030
　　 9 0.0 563.6364 12.98701
　　 10 5000.000 INFINITY 1878.788
　　 11 3000.000 2296.296 66.66667
　　 12 4000.000 30.30303 1303.030
　　 13 2000.000 805.1948 22.72727
　　 14 0.0 66.66667 1125.000
　　 15 0.0 0.0 34.09091
　　 16 0.0 1303.030 30.30303
　　
　　模型二
　　1. 当普通品牌的销量不变时
　　max=1840.909+1.10*y2+1.80*y3-0.70*(x21+x31)-0.5*(x22+x32)-0.55*(x23+x33)-0.45*(x24+x34);
　　
　　m=1400;
　　x21-0.35*y2<0;
　　0.4*y2-x24<0;
　　0.3*y3-x31<0;
　　x31-0.5*y3<0;
　　0.3*y3-x34<0;
　　x21+x31<=3909.091+m1;
　　x22+x32<=m2;
　　x23+x33<=2636.364+m3;
　　x24+x34<=2000+m4;
　　x21+x22+x23+x24=y2;
　　x31+x32+x33+x34=y3;
　　m1+m2+m3+m4=m;
　　运行结果
　　Global optimal solution found at iteration: 10
　　 Objective value: 14026.36
　　
　　
　　 Variable Value Reduced Cost
　　 Y2 0.000000 0.000000
　　 Y3 9945.455 0.000000
　　 X21 0.000000 0.7000000
　　 X31 3909.091 0.000000
　　 X22 0.000000 0.7500000
　　 X32 0.000000 0.5000000E-01
　　 X23 0.000000 0.7000000
　　 X33 2636.364 0.000000
　　 X24 0.000000 0.7000000
　　 X34 3400.000 0.000000
　　 M1 0.000000 0.2500000
　　 M2 0.000000 0.000000
　　 M3 0.000000 0.1000000
　　 M4 1400.000 0.000000
　　
　　 Row Slack or Surplus Dual Price
　　 1 14026.36 1.000000
　　 2 0.000000 0.000000
　　 3 0.000000 0.000000
　　 4 925.4545 0.000000
　　 5 1063.637 0.000000
　　 6 416.3635 0.000000
　　 7 0.000000 1.100000
　　 8 0.000000 1.350000
　　 9 0.000000 1.250000
　　 10 0.000000 1.350000
　　 11 0.000000 -1.100000
　　 12 0.000000 -1.800000
　　 13 0.000000 1.350000
　　2.当普通品牌的销量可变时
　　max=0.89*y1+1.10*y2+1.80*y3-0.70*(x11+x21+x31)-0.5*(x12+x22+x32)-0.55*(x13+x23+x33)-0.45*(x14+x24+x34);
　　
　　m=1400;
　　x11-0.2*y1<0;
　　0.4*y1-x12<0;
　　x13-0.25*y1<0;
　　x21-0.35*y2<0;
　　0.4*y2-x24<0;
　　0.3*y3-x31<0;
　　x31-0.5*y3<0;
　　0.3*y3-x34<0;
　　x11+x21+x31<=5000+m1;
　　x12+x22+x32<=3000+m2;
　　x13+x23+x33<=4000+m3;
　　x14+x24+x34<=2000+m4;
　　x11+x12+x13+x14=y1;
　　x21+x22+x23+x24=y2;
　　x31+x32+x33+x34=y3;
　　m1+m2+m3+m4=m;
　　运行结果
　　Global optimal solution found.
　　 Objective value: 15289.33
　　 Total solver iterations: 7
　　
　　
　　 Variable Value Reduced Cost
　　 Y1 4066.667 0.000000
　　 Y2 0.000000 0.000000
　　 Y3 11333.33 0.000000
　　 X11 50.00000 0.000000
　　 X21 0.000000 2.866667
　　 X31 4950.000 0.000000
　　 X12 3000.000 0.000000
　　 X22 0.000000 0.000000
　　 X32 0.000000 0.000000
　　 X13 1016.667 0.000000
　　 X23 0.000000 0.000000
　　 X33 2983.333 0.000000
　　 X14 0.000000 3.033333
　　 X24 0.000000 0.000000
　　 X34 3400.000 0.000000
　　 M1 0.000000 3.283333
　　 M2 0.000000 3.083333
　　 M3 0.000000 3.133333
　　 M4 1400.000 0.000000
　　
　　 Row Slack or Surplus Dual Price
　　 1 15289.33 1.000000
　　 2 763.3333 0.000000
　　 3 1373.333 0.000000
　　 4 0.000000 0.000000
　　 5 0.000000 2.866667
　　 6 0.000000 3.033333
　　 7 1550.000 0.000000
　　 8 716.6667 0.000000
　　 9 0.000000 3.033333
　　 10 0.000000 0.1900000
　　 11 0.000000 0.3900000
　　 12 0.000000 0.3400000
　　 13 0.000000 3.473333
　　 14 0.000000 -0.8900000
　　 15 0.000000 -0.8900000
　　 16 0.000000 -0.8900000
　　 17 0.000000 3.473333